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森博嗣さんの『笑わない数学者』（日記のタイトルは、同書のサブタイトルより）に載っていた問題。

五つのビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングにつなげてみるとしよう。
さて、この五つの玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。
一つでも二つでも、五つ全部でも良い。
しかし、離れているものは取れない。
この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、1から21までのすべての数ができるようにしたい。
さあ、どのナンバの玉を、どのように並べて、ネックレスを作れば良いかな？

自力で考えたのは、まず玉の選び方が21通りしか存在しないので、必然、五つの数の合計は21になること。
また、五つの数及びその合計は、各々違う数になること。
次に、カンニング気味ですが、本文で解答は1つと指摘されているため、解は明確に1つ定まるはずであること。
後は、これに従って、まずは1がなくては決して1は作れない。
次に、2は1+1では作れないので、2を入れるしかない。
3は、1+2で作れるが、3を入れてもできて…
と、順番に考えていくだけなので、一応答えは出ました。
しかし、数学的に、これをきっちり解決することができるでしょうか。
ちなみに、手元のコンピュータを使って、総当りで計算させるのは禁止です。
分かった方も、ここに答えは書き込まないで下さいね。

卒研のアルゴリズムを考えていたはずが、気がついたらこの問題ばかり考えていた今日一日でした。
小説そのものよりも、こっちが気になりますね…